推理剧《古畑任三郎》之“数学家杀人事件”中有这么一个小插曲，这是古畑和数学家之间的一个小游戏：

两个人轮流数数，从1开始数到16，每人每次可以数1到3个数，规定最后数到16的人就输了。我们可爱的古畑大叔并不知道其中诀窍，所以连着输了两局。

但是过了两天，古畑从另一个数学家那里掌握到了诀窍，大致来看是这样的：要让对方数到16的话，自己就必须数到15才行，要数到15你会发现只要数到11即可,因为如果对方数一个数数到到12，你可以连着数3个数直到15；如果对方数2个数数到13，那么你也数两个数数到15；如果对方数三个数数到14，那么你就数一个数数到15。于是只要数到11就能确保自己数到15，那么同样的道理，要数到11就只要数到7，要数到7就要数到3，所以呢，谁先数到3，然后一步步数到7,11,15，最后把16丢给对方那就赢了。

好了，诸如此类的博弈其实更接近一个纯数学问题，这类问题基本上有如下一些共性:

满足上述条件的游戏，称为无偏博弈。

比如说五子棋就不能算是无偏博弈，因为黑棋有禁手的缘故？就算是无禁手的五子棋也不属于无偏博弈。记住第②条，规则对双方是相同的，这意味着两名玩家面对同一局面时，能采取的策略是一样的。换句话说，或者让两个人都可以使用白色和黑色的棋子，或者让棋子只有黑色或只有白色，而且游戏结束条件也必须“无偏差”，你可以规定先使五子连成一条直线的人为赢家，但不能规定黑棋代表一个人，白棋代表另一个人。而这当然不能算是一般意义的五子棋了。同样的道理，凡是有固定颜色的棋子代表某方玩家的，诸如围棋，象棋，陆战旗等都不属于无偏博弈。

无偏博弈在数学上有一定的章法可循。现在来考虑一个和上面古畑先生玩的相同性质的一个“取石子游戏”：桌子上有15个石子，每人每次可以拿去1到3个石子，拿走最后一个石子的人赢。

这个游戏其实不管从推理还是从结论上说都和文章开头的游戏一样，不过这次我们尝试找出更普遍的规律。因为石子的数量总是递减的，所以这个游戏必将在有限步（15步）内结束。我们可以用余下石子的数目来表示局面，于是一共有16个局面。因为规定了拿走最后一个石子的人赢，换句话说当石子个数为0时，就是一个“轮到谁谁就输”的局面，我们通常叫这种局面为必败态。既然0是必败态，那么当局面为1,2,3时，先手就可以采取规则所允许的策略（拿走1个，2个，或是3个）来把局面变成0，于是称1,2,3为胜态；而当局面为4时，不论采取何种策略，局面都将走向胜态，从而4是一个必败态。

现在不用再分析下去我们就知道，一个无偏博弈的局面可以分成两种：必败态和胜态。

胜态一定可以通过某种策略走向必败态；而必败态采取任何策略都将走向胜态。

假如游戏开始时的局面是胜态，那么先手总可以采取适当的策略使胜态走向必败态，然后交给后手。而后手面对必败态，无论他怎么行动，都将走向胜态。假如先手足够聪明的话，先手就让后手永远面临必败态，而自己永远面临胜态，直至游戏结束。这就是一个先手（采取适当策略）能必胜的游戏。反之，如果游戏开始的局面是必败态，那么这就是一个后手必胜的游戏。

在文章的最后，大家来练练手吧，还是刚才的取石子游戏，桌子上有15个石子，每人每次可以拿去1个或3个石子，拿走最后一个石子的人赢，能否列出所有的必败态，找出先手的必胜策略呢？