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大神大婶么..级数收敛性证明的题目

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发表于 2012-5-11 17:35:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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证明1-COS(1/n)的级数收敛...我证出来的居然是发散..求如何证明收敛

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发表于 2012-5-11 19:00:59 | 显示全部楼层

这里数学渣OTL完全帮不上忙

→角虫聚集地←

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发表于 2012-5-11 20:30:14 | 显示全部楼层

我记不太清了
是不是这样，对于任意epsilon>0，存在一个N，使得当n>N时，有|1-cos(1/n)|<epsilon成立，所以级数是收敛的
很容易证明N的存在性吧

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natalisilver	+ 20	Σ( ° △ °\|\|\|)︴碉堡了

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发表于 2012-5-11 21:14:14 | 显示全部楼层

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求导以后用sinx~x

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楼主| 发表于 2012-5-17 10:49:16 | 显示全部楼层

轻舟过发表于 2012-5-11 20:30

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我记不太清了
是不是这样，对于任意epsilon>0，存在一个N，使得当n>N时，有|1-cos(1/n)| ...

没收到提醒...于是现在才看到..
题目写到..请用比较法,所以我得找个已知是收敛的级数来比较证明它是收敛的说.

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楼主| 发表于 2012-5-17 10:53:01 | 显示全部楼层

natalisilver 发表于 2012-5-11 21:14

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求导以后用sinx~x

哦..我老是套用1/n去了..于是发散..
反正老师说用极限形式来证也没事,那就用这个吧..谢谢

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楼主| 发表于 2012-5-17 10:59:17 | 显示全部楼层

轻舟过发表于 2012-5-11 20:30

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我记不太清了
是不是这样，对于任意epsilon>0，存在一个N，使得当n>N时，有|1-cos(1/n)| ...

突然想起来..这不是数列的收敛发散的证明么...级数里面就算极限是0也不一定收敛..比如1/n,它的级数就是个发散的..

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发表于 2012-5-17 11:49:23 | 显示全部楼层

charlie2001 发表于 2012-5-17 10:59

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突然想起来..这不是数列的收敛发散的证明么...级数里面就算极限是0也不一定收敛..比如1/n,它的级数就是个 ...

原来是级数，sorry，看错了
那么应该可以这么做

$1-\\cos\\frac{1}{n}=2(\\sin\\frac{1}{2n})^2\\leq \\frac{2}{4n^2}$

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因为都是正项级数，因为

$\\sum^\\infty_{n=1}\\frac{2}{n^2}$

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收敛，所以原级数也收敛

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楼主| 发表于 2012-5-19 15:27:01 | 显示全部楼层

轻舟过发表于 2012-5-17 11:49

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原来是级数，sorry，看错了
那么应该可以这么做

哇嘎达!

灰常感谢

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