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原发帖者 @lijieamd
在上一集中，大家已经观察了四维空间中几种几何结构的投影，这里先做一些解释
单形：也叫做单纯形，单形可以说是空间中最基本的几何结构，n维空间中的单形一般都有n+1个顶点，比如1维空间中单形就是线段，2维空间中的单形就是三角形，3维空间中则是四面体，4维空间则是五胞体。 仔细观察这些名字，不难发现其中的规律，n维单形均包含(n+1)个（n-1）维单形，这句话有点拗口，需要仔细多读几遍。 这便是维度的奥秘之一，仅仅增加一个维度，体积（这里是广义的体积，长度，面积都算作体积）的增加幅度简直难以想象，用常说的“成几何倍数增长”来描述就再适合不过了。
正多面体：2维正多面体是正方形，三维则是正方体，四维是超立方体（或者叫做八胞体） 同样的，仔细观察，也可以发现规律。 先定义一个概念【超平面】：比当前维度低一维的空间叫做当前空间的超平面 一维线是二维面的超平面，二维面是三维体的超平面，三维体则是四维的超平面 有了这个概念，正多面体就可以找到规律了：n维正多面体包含（2*n）个（n-1）维超平面
球面：这个我个人认为是几何中最优美的结构 【重点】球面是连接两个维度的桥梁 球面定义是，空间中与某一固定点的距离相等的点的集合，一般n维球面称作S(n) S(1)是圆环，S(2)是二维球面，S(3)是三维球面 我们来看看球面的奇妙特性： 【特性】有限无界 如何理解，先来看看S(1)，圆环，就是一条线段首尾相连，如果作为1维生物生活在圆环上，那么你永远也走不到尽头，你会在S(1)上循环，这就是“无界”。而S(1)所包围的2维空间确是有限体积（广义体积）的，也就是圆环所包围的圆形的面积，这就是“有限” 大家可以思考一下S(2)，也就是我们生活的地球了，我们生活在地球表面，朝一个方向走，同样走不到尽头，会循环，而S(2)所包围的球体体积也是有限的
这样就可以总结为：S(n)是一个拥有n维平面的(n+1)维物体，这就是前面所说的桥梁作用了。 最后再来看难以理解的S(3)，不过有了上面的结论，我们可以推测，S(3)拥有无界的三维空间，但是却包含有限的四维空间，多么奇妙，我到现在都一直认为宇宙就是S(3)！
下一集是一些计算机图形学的知识，相信“程序猿”和“线性代数控”会喜欢 | 
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发表于 2012-3-22 13:23:50
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