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韦达定理其人其事

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发表于 2012-3-21 13:34:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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原发帖者@fanghy12345

韦达其人
最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。

韦达定理(Vieta's Theorem）
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中设两个根为x1，x2
　　则X1+ X2= -b/a
　　X1·X2=c/a
　　用韦达定理判断方程的根
　　若b^2-4ac≥0则方程有实数根
　　若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
　　若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
　　韦达定理的推广
　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
　　它的根记作X1,X2…，Xn
　　我们有
　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，∏是求积。
　　如果一元二次方程
　　在复数集中的根是，那么
　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
　　(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|

推广

　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
　　它的根记作X1,X2…,Xn
　　我们有
　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，∏是求积。
　　如果一元二次方程
　　在复数集中的根是，那么
　　法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。有趣的是，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
证明及结论

　　二次函数与一元二次方程的解由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a
　　（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数）
　　可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a
　　1. X1＋X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a
　　所以X1＋X2=-b/a
　　2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac）÷2a]×[（-b-√b^2-4ac）÷2a]
　　所以X1X2=c/a
　　（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2）
　　（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a
　　又因为X1.X2的值可以互换，所以则有
　　X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】
　　所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a
　　韦达定理推广的证明
　　设X?，X?，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
　　则有：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=0
　　所以：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=∑AiXi　（在打开(x-x?)(x-x?)……(x-xn)时最好用乘法原理）
　　通过系数对比可得：
　　A（n-1）=-An(∑xi)
　　A（n-2）=An(∑xixj)
　　…
　　A0=[(-1) ]×An×∏Xi
　　所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)
　　…
　　∏Xi=[(-1) ]×A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，∏是求积。

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