本帖最后由 dchneric 于 2013-2-5 09:45 编辑
纯音&基音&泛音列
=\sum_{i=1}^{\infty}{C_i sin(\frac{i \pi a}{L}t+\phi)sin(\frac{i \pi}{L}x)}$ "$Y(x,t)=\sum_{i=1}^{\infty}{C_i sin(\frac{i \pi a}{L}t+\phi)sin(\frac{i \pi}{L}x)}$")
其中数列Ci为待定系数.
上节这个弦振动模型的解（复制在上面），具有非常重要的意义~ 我们怎么解释它呢？
1. 首先可以看出它是由无限个小函数叠加构成的，这些小函数都是sin(at)sin(bx)的形状，并带有一个位置系数C。sin(at)sin(bx)实际上就是高中物理里面称为“驻波”的东西（比如甩长绳出来的形状）。驻波的特点是，虽然上面每个点都在做不同振幅的纵向简谐运动，但所有点的频率是一样一样的。换言之，对于一个驻波而言，它上面所有点对空气的扰动是完全同步的，我们可以近似认为，这个驻波发出的声音（信号）就是一个简单的三角函数sin(wt)，而w就是驻波的角频率。三角函数的声音被称为“纯音”，也就是最纯净的，比如老式电话拿起听筒之后听到的，就是440hz的三角函数，即y=sin(440*2pi*t)。
2. 我们再观察这些小函数在sin()里面的系数：时间变量t前面的系数，是时间轴上的周期性的表达，毋庸置疑就是角频率（即频率/2pi），而空间变量x前面的系数，是空间轴上周期性的表达，其中i等于几就表示这个驻波有几个波节。下面的图就是这个求和函数的前7项的大致形状： 我们用语言来描述的话：一根弦的振动，可以用这些驻波在系数序列Ci的加权和表示，那我们看到的振动，就是一个个sin(at)sin(bx)函数（驻波）的叠加；我们听到的声音，就是一个个sin(wt)函数（纯音）的叠加。 学过高数的童鞋应该有feel，这是不是和傅里叶展开有关？没错~从数学层面说，既然我们听到的声音是个有界连续信号，可以表达成三角函数的和，那么从物理层面说，图上的每一个驻波作为信号源，发出一个个纯音音波，就完全解释的通了。 进一步说，世界上所有的声音，都是某些纯音的叠加，那么所有的振动的物体都可以表达为一个三角函数的信号源吗？答案是肯定的，比如材料或土木相关的学科中，有限元模型用来描述大块物体的振动，最后也是拆解成一个个三角函数的信号源（称为“主振型”，类比‘驻波”），而这种方法被称为“模式分析”。 3. 从第一个驻波起算，它们的波节之比（即空间频率倒数之比）为1:2:3：。。。但这不是很重要；重要的是频率特性：它们的时间频率之比也是1:2:3：。。。对应到声音，就是每个纯音的频率之比为整数。每个驻波之前的系数Ci代表振幅，也代表对应纯音的强度。这些Ci的值取决于（1）乐器的形状参数，（2）弦振动模型的初始条件（即怎样触发弦的振动，右手撸还是左手撸之类的。这中间还分自由振动和受迫振动，比如小提琴琴弓的运动就对弦施加了受迫振动，长笛也是；但钢琴和吉他都是自由振动）。对于大多数乐器而言，第一个驻波的加权系数C1非常大，这个纯音的能量非常强，我们称之为基音（或基频），而其他驻波能量小一些，我们称之为泛音（或高频成分，因为频率肯定比基频高嘛）。不同的乐器或者不同的演奏方式造就了不同的Ci序列，这时我们听到的声音虽然一样高，但总感觉略有不同，这就是“音色”。
4. 那么人耳是怎么识别这些声音的呢？首先，人耳能在一定误差范围内辨别一个纯音，比如440hz和441hz的纯音，人耳是听不出区别的，但440hz和540hz的区别大家都能听出来。第二，人的音感对频率的响应曲线是对数的。也就是说Xhz，X*3hz，X*9hz的三个音对人来说，是“等间隔”的，而X，X+3，X+6对人耳来说则不是”等差”的。特别要指出的是，Xhz和X*2hz的关系，就是我们俗称的“八度”。
5. 下面就以钢琴为例做一个对应。钢琴的中央A(la)按标准是440hz（也就是那个电话听筒的声音），这意味着按下这个琴键，琴槌敲击琴弦，发生了弦振动，而振动产生的声音中最大声儿的就是440hz的基音，其次是880hz(高八度la), 1320hz(高12度mi)…等等泛音的声音。这个440*iHz, i=2,3,4,5…的序列，成为“泛音列”。下图是一个i=1-13的泛音列，不过它是从一个低音的C(do)的琴键开始往上数的。（由上一节的“等差关系”我们知道，这个泛音列可以平移到任何一个琴键上，相当于对这个音列中所有的频率乘上同一个常数）
这个泛音列的意思是，如果我们按下第一个低音do，它其实发出了后面所有这些音符的声音，这是因为： 假设低音do的基频为100，那么它发出了100, 200, 300, …的声音 高八度的do的基频为200，那么它发出了200, 400, 600,…的声音，显然被低音do包含了 高八度的so的基频为300，那么它发出了300, 600, 900….的声音，同样被低音do包含了 等等。
所以说，如果我们按下了这个低音do琴键，再按下某个泛音列上的琴键，实际上我们并没有创造新的声音成分，只是加重了现有某些泛音的强度，从而改变了音色。这就好像画家在调色盘上用某种颜色作为主色，通过加入少量其他颜色，让色调发生微妙的变化一样。
另外，由于这种“不创造新成分”的特性，使得人耳在听到泛音列中的几个音的时候会比较舒适。尤其泛音列中前几项跨度<=八度的，乐理上把他们称为“协和音程”：最协和的当然是纯八度，频率比为1:2；然后是纯五度，频率比2:3（实际上，五度会创造新的成分，只是大部分后续泛音还是重叠在一起的，所以五度没有八度和谐），再然后是纯四度，频率比3:4（同样，它创造了更多新成分，所以没五度和谐），以此类推…
Ps：上面提到的泛音完全是基于弦振动理论的，那非弦乐器怎么办呢？首先，长笛等管乐器的空气柱可以等效成弦（只不过传递的是纵波，而且一段的约束条件是敞口的，也就是这个地方必须是个驻波的波腹，而不是驻波的节点），所以空间频率的比例不再是整数比（但之前说了，空间周期我们不care），但并不影响时间频率的比例关系。其次，像定音鼓这样的乐器就比较惨了，它的振动模式是二维膜振动，它具有完全不同的微分方程和解~ 学过数理方程的童鞋应该记得，膜振动的特征值是bessel函数零点序列，他们是无理数！这意味着定音鼓没有泛音序列（即任何两个音在一起演奏，不会有泛音重叠），所以它没有协和音程不协和音程的说法。所以撸主觉得呢，如果有平行世界，那么这个世界中是膜振动乐器占主导的可能性也很小，除非那里的人类和我们的音感不一样。
先写这点了~~泛音是很多音乐理论的基石，但它有严重的缺陷，撸主会接着往下写（如果有人看的话啦）~~ 估计下次贴个实验什么的，然后应该可以引出律制了吧~
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发表于 2013-2-2 09:57:46
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