本帖最后由 dchneric 于 2013-2-5 09:50 编辑
摘要:撸主这个贴的主要目的是骗糖吃,顺便介绍乐器的震动发音背后的本质,以及一些和律制,泛音,音色相关的topics。文中涉及重口味数学和工程学,但应该不会影响阅读的…
铺垫
首先呢,我们看看一般的乐器是什么样的: 钢琴每个锤子打1-3根弦,通过弦的震动发声; 小提琴琴弓锯一根钢丝弦,弦震动发声; 吉他靠手撸,弦振动发声; 长笛有一个空腔,靠空气柱震动发声; 定音鼓通过鼓面振动发声,等等
所以可以看到,乐器都是靠物体的振动作为发音的源头的(这不是废话么!),而且大部分的振动都在琴弦上进行。振动产生后,要么传递给一个共鸣腔,要么直接向空气传播,进入人耳被我们听见。
大家还记得中学物理有提到,“受迫振动”的物体M只是重复振动源S的振动规律吧?(有这么回事么…)好,我们需要把它细化一下,这个规律只对简谐振动有效(课本上的例子是单摆,也就是正弦波啦): 如果S的振动规律是 ,那M的受迫振动可能是 ,其中 是相位差(我们不关心,下同),C是一个系数,这个系数很重要,它 和M的形状以及系统的结构有关。 如果振动源S有两个不同的正弦波a, b叠加而成,M的受迫振动将会是选择性的,即,对于波a和波b,会有不同的系数 和 ,而且 系数条件和M的形状及系统的结构有关。
这个没搞清楚不要紧~~撒,以狗~~
弦振动&弦振动方程&弦振动方程的解
既然大部分乐器都是以弦为主,那么我们就从弦模型的振动pattern开始谈起吧。首先,请随手找一根弦:
弦振动模型中的弦首先是个长条形的物体,而且需要两端固定(或施加其他的约束条件),需要物体本身有一定的弹性,需要绷紧,如上图所示(特指中间绷直的这段)~~~
那么,像这样的一段丝线,我们如果在中间拨一下,就能发生弦振动了。为了切实研究它的振动规律,古人对弦振动模型做足了研究,以至于它成为了最基本的模型之一。学过大雾的童鞋应该已经知道,假设弦在每一处的弹性都一样,而且上下震动的位移大小非常有限的话,可以用下面的模型描述之:
其中y是振动的位移,x是横轴,t是时间,a是和弦本身有关的一个常数
这是弦振动在在xy平面的情况。(考虑三维的话,就是再多写一个xz平面的振动公式,然后两者的位移叠加即可。所以下面我们还是以xy平面的情况做栗子)
嘛,这个模型其实就是传说中的波动方程,理工科的“数理方程/数学物理方法”课程的第一章一般就是它了~~ 傅里叶伯努利等人的研究发现,这种微分方程可以表达成下面的普通函数形式(驻波法):
其中数列Ci为待定系数.
这个解看似一团乱麻,但其实暗藏玄机,下一节我们重点讨论它~
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