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[数学の日常] 关于“零”的定义

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[LV.10]以坛为家III

发表于 2019-6-15 20:46:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数学上,对零的定义,有点奇怪,你会发现,所有的数学规律,碰上了零,都要单独考虑。
这里的任何数,可以是已知数域的最大范围(大概吧?我们暂且认为是实数范围吧)

比如我们为了满足计算需求做了给零的运算作了如下的定义:

1. 零乘任何数都得零
2. 任何数除以零均没有意义
3. 零的阶乘是一
4. 任何数的零次方等于一
……

习惯上,我们会使用一个统一的规律一以贯之所有的情况,可是你会发现这些东西遇上零就失效了

我们来研究一下上面的定义1:
实际上,乘法的诞生来自于加法
“n个a”相加我们记作“n*a”
然后习惯上我们将“零”看作是“没有”
于是0个a相加自然还是0。
那么定义1理解上应该没啥问题。

那么我们再来看看定义2。
谁都知道除法是乘法的逆运算,根据一个统一的规律
m*n = m/(1/n)
然后这条或许适用于所有数的规律在零这里出现异常了
a*0 = a*(1/0) = a/0 = ?
将定义1,零乘任何数都得零倒过来,自然是
零除以任何数都得零① 这条满足定义本身,0/a = 0*(1/a)
任何数除以0得任何数②  a/0 = w? 这条如果成立,整个数学的运算体系就乱套了,各种矛盾层出
于是我们不得不规定,m*n = m/(1/n),其中n≠0

然后我们知道一件事,几何原本中规定点没有大小,即大小(长度为零),同时又规定线段上有无数个点(点动成线),那么假设一条线段长度为a,我们有(其中∞为无穷大符号)
0*∞ = a。
a/0 = ∞。(根据已知的性质,等式两边同时除以零或同时除以无穷大,都无法运算,这条只能根据乘除互为逆运算这个根本原理猜测出)
我们前面不是说零乘任何数都得零吗?这条扯淡推论是什么玩意儿?
别急,学过极限理论的我们同时还知道
lim(n->∞)[(a/n)] = 0(当n趋近于无穷大的时候,a除以n的极限是零)
诶?前面推出来的诡异的结果好像和这个有点儿像……

零和无穷大好像有冥冥中的一些转换关系?
无穷大的倒数是零?零的倒数是无穷大?(本来零的倒数就无意义,要不然我们强行给它一个定义?)
当然不行。很容易能够发现一些基本算数矛盾,比如违背了上面的定义1。
所以我们规定了一种全新的运算叫做极限,试图避开修改基本算数原理来解决这个问题。

前面提到了一个东西叫做无穷大,我们虽然强行将它运用在了乘法里,但是这玩意儿……无穷大是多少大?
无穷多个零相加……
为什么会有无穷这个东西?
因为有一个显而易见的事实是
(1/3)+(2/3) = 1
即0.9999... = 1
这后面的9有无穷多个。并且0.9999可以写成
(9/10)+(9/10的平方)+...(9/10的n次方) 并且这里的n=1,2,3.....∞
所以,首先,这个基本的算式告诉我们,“无穷”是客观存在的,至于它存在的形式嘛……
可能是当初人类规定算数原理的时候不够完备的副作用吧……

在学极限的时候,你会发现一个事实,无穷大和零一样奇怪,任何东西碰到无穷大,计算都要被重定义,前面我们又有一个猜测,零和无穷大有着某种转换关系……
所以……
也许当你彻底理解了零,也就能理解无穷大有多大了吧
一边是彻底的“无”,一边是彻底的“满”,二者有关联
似乎印证了中国古代对立又统一的辩证思想——矛盾在一定条件下可以互相转化。

当然这里我们不深入讨论哲学问题,上面研究了半天,我们其实都在在研究一个问题,那就是:
一个东西无限平均分后,是否会变成没有的问题。

实际上,点动成线
线动成面
面动成体

前一个维度的无穷却是下一个维度的开始,似乎也符合相对论
我们看起来是“零”的东西,无限积累,最终会促成质变
不过我们当前的算数体系有些许的局限性,不足以彻底帮助我们精确描述这种动态变化的情况
人们尝试使用极限来解决它,却也没有能够彻底解决

而这个问题,也是求圆相关问题的关键。
我们都知道圆周率是一个无限不循环小数,是一个超越数(待续)









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[LV.3]偶尔看看II

发表于 2019-11-18 14:18:41 | 显示全部楼层
数学是一门很有趣的学科,很多数字都有很特别的特征,0就是其中最神奇的存在
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[LV.6]常住居民II

国庆70周年纪念

发表于 2019-11-20 18:49:14 | 显示全部楼层
程序员表示Null
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[LV.5]常住居民I

发表于 2019-11-25 09:33:02 | 显示全部楼层
膜拜大佬,放眼望去都是大佬的帖子。。
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[LV.2]偶尔看看I

发表于 2021-6-4 16:31:30 | 显示全部楼层
m*n = m/(1/n)
然后这条或许适用于所有数的规律在零这里出现异常了
a*0 = a*(1/0) = a/0 = ?
这个推导好像有问题。应该是a/(1/0)才对啊
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