何塞—曼纽尔•雷（Jose-Manuel Rey），从马德里获得数学博士学位，在圣安德鲁斯大学和伦敦大学学院做过一年博士后研究，现为西班牙马德里孔普卢顿大学（Universidad Complutense in Madrid）教授。

背景
西方社会的离婚是普遍存在的。它提出了重大的科学和社会学问题，不管是理论上还是解决方式上。学者和问题处理专家认为存在一种情感关系热力学第二定律（second law of thermodynamics for sentimental relationships）。仅有爱是不够的，还需努力来维持。

方法论与主要研究发现
我们基于第二定律的简单表述用最优控制理论作为建立情感动力学模型的新方法。我们的分析与社会学数据保持一致。我们揭示出，如果双方有类似的情感属性，最优努力策略将带来长久幸福的婚姻。这一策略因两方面因素的组合而受结构扰动的制约：一是努力差距，因为最优策略通常需要不愉快；一是努力降低到不可持续水平的趋势，因为动力学不稳定。

结论与意义
这些数学事实表明，这一数学模型揭示了可以解释真实情景中配偶关系破裂的基本机制。这个框架里的悖论是一贯想天长地久的婚姻可能会破裂，其可被解释为第二定律的机械结果。

导论
有着浪漫特性的情感关系通常被认为是平衡西方社会幸福生活的基本组成部分。当人们被问及什么是幸福生活的必备要素时，大家通常将“爱”和“亲密关系”摆在首位。很难以想象人类生活的另一方面涉及许多文化、社会、心理、经济问题。但是浪漫关系的原始阶段似乎受化学过程的控制。维持一段情感关系这一问题在一定程度上属于理性判断的范畴。人们通常卷入长期的关系，最典型的就是经过适当考虑的婚姻关系。即使在西方社会，盛行的仍是一夫一妻制。配偶通常声称，他们的目的是维持他们的关系并和睦相处。但欧美大量报道的高离婚率表明了他们计划实施的失败。配偶关系破裂这一现象在美国被视为流行病，“脚踏两只船最终导致离婚”这一统计被媒体和学术报告频繁引用。欧盟27国的离婚率并不比那个数字低，一些欧洲国家也表现出很高的离婚率。此外，未婚配偶的数据则讲述了情感破裂更糟糕的故事。
不同学科的学者们一致认为，婚姻不稳定的主要原因应归结为二十世纪劳动中性别分工的变化所引起的经济力量的释放。然而这一原因并不能解释过去几十年里正在进行的、充斥各处的婚姻破裂。事实上，其并没有理解为什么这么多配偶最终离婚而其他人却没有离婚。这一理解尤为重要，因为婚姻破裂所诱发的社会变化将深刻影响当代西方社会的社会结构以及社会中好人。
对大多数配偶来说，事实是双方都打断维持长久的关系，并为这一目标而努力以反驳报道出来的高离婚率。本文称这种反驳为失败悖论。根据戈特曼等人（Gottman et al）的研究，（按：戈特曼、默里、斯文森、蒂森等于2002年合著的《婚姻数学——动态非线性模型》（Mathematics of Marriage–Dynamic Nonlinear Models），麻省理工学院出版社）婚姻研究领域急需（数学的）理论。本文旨在缓解这一需求。尤其是本文将为这种失败悖论提供一个一致的解释。
戈特曼等人的研究看上去是迄今为止对配偶关系所进行的唯一数学研究。在实验观察时他们用一对非线性差分方程评估了双方的短期互动，斯特罗伽茨（Strogatz）率先提出了一个配偶互动的简单动态系统模型。我们这里采用不同的动力学方法：配偶被作为一个单位，（不考虑内部互动）他们的情感动力学因其长期和睦共处的意愿而被理性描述。
鉴于配偶分手这一普遍现象，超越关系的具体瑕疵而寻找能解释分手的基础的、确定性机制似乎是和情理的。我们在社会学数据的基础上提出了一个基于最优控制理论能解释同类婚配偶长期关系理性计划的数学模型。如果双方有同类的特征，我们称之为同类混配偶。同类婚配是西方社会情感关系最主要的类型。我们的模型实际上需要同类婚的弱读式。我们通过基于情感互动热力学第二定律（second thermodynamic law for sentimental interaction）的动力学方程描述关系形式的进展。第二定律指出，除非有‘能量’供给，否则一段关系将破裂。广为接受的事实使我们将情感关系建模成控制问题。以努力这一形式存在的能量在控制变量中起着重要作用。最优控制理论已经被广泛地应用于应用科学，如工程学和经济学。我们的最优控制模型为婚姻和亲密关系分析提供了一个全新的数学方法。
考虑到一些条件的可行性，我们模型表明，维持长期成功的关系是可能的，其取决于动力学平衡轨迹。然而很明显的是，长期关系不可能没有努力。这一模型最引人注目的发现是保持幸福关系的努力水平总是比选择最优推理额努力水平要高。考虑到两种努力水平可容忍的努力差距，维持一段关系是切实可行的。这一数学分析的最主要结果是服从于第二定理的情感动力学本质上是不稳固的。其表明，当努力放松时，情感的日益恶化会轻易地发生。这一分析还确立了能解释渐进退化导致破裂或使人不满的情感生活的机制。
本文的研究结果有助于解答关系失败悖论：根据第二定理，长久幸福关系的优化设计与动态不稳定性保持一致，并有可能不是破裂。这一显著的发现解决了这一失败悖论，因为真实的关系被认为是服从于不稳定性和不确定性的更多原因。这一结果也揭示出如何保持健康有活力的长久关系。
第二部分中为社会学数据所支持的关键证据将作为检验模型发现一致性的框架。失败悖论这一问题也源于社会学证据。这一模型的要素将随着潜在基础的讨论而提出。这一模型分析的主要预言将体现在第三部分，其中一些将表明其与第二部分的事实保持一致。为了方便更流利的讨论，数学术语请见附录。

方法论

典型事实
马丁和巴姆帕斯（Martin and Bumpass）使用1985年的数据表明，在长达40年的时间里，美国三段婚姻中有两段将以分居或离婚而结束。这一比例可能还没有达到，但是2002年的数据显示其并不低。50%的人在其较早的40年里已经离婚不止一次。2005年发表的数据证明其只比欧盟27国的平均离婚率（44%）稍高。在欧盟一些国家，这一比例甚至高达71%。
如果包括未婚同居，这一数据将上升，尽管基于同居状态的数据不难获得。最近的研究证实，非婚姻同居总体上决不比婚姻稳定。他们报告道，49%的婚前同居在5年分手（10年后分手是62%），然而只有20%的婚姻在5年内以分居或离婚告终（10年后告终是33%）。我们正在观察的这一现象的典型实施可以阐述如下：
1）在爱情关系中存在普遍的失败。
2）典型的配偶相信关系持久的主要因素在于追求幸福。而且大部分人认为，他们自己的关系不会破裂。
失败悖论：打断长久持续的关系如何极可能破裂？
3）配偶分手是一种渐进劣化过程的结果。
4）配偶双方的主观幸福在婚后逐渐降低。

模型
这一模型基于两个主要的假设，也就是下面第二部分要讨论的第二定理和上述第二点所说的配偶关系的长期规划。

效用结构：效用与负效用函数的典型形状

                               
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情感均衡

                               
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长久关系

                               
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分手机制

                               
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