[奇思妙想] 关于纬度变迁

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浑狱弥

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第一章

Chang & Heavy Ion holic

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发表于 2012-9-21 01:51:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由浑狱弥于 2012-11-17 12:24 编辑

今天上课讲到欧拉—班索的特殊情况，而举出的实例关于纬度变迁引出了同学们的不少疑问。
什么是纬度变迁？为什么 $\vec\omega$ 和 $\vec k$ 夹角不变，但纬度会发生变化？

对于这些疑问，老师并没有做明确解答，下来之后鄙人查了一下有关纬度变迁的资料并结合欧拉—班索情况求解。

首先是有关于纬度变迁（latitude variation）的具体定义。
在以恒星为标准测定地面纬度，地球上同一点的纬度会随时间变化。
而引起这种变化的原因大致可分为两类：钱德勒颤动（Chandler wobble )和蒙气差波动(Irregularities in atmospheric refraction)。
目前关于此现象的解释已经非常充分。
可参照一篇大众科普文（纬度的变迁）。

由此可见，此现象是很复杂且伴随不确定性的周期现象。
回到本问题的初始，或者是参照关于Chandler wobble--wiki，还是不难发现这是与欧拉—班索情况相关的。
起初欧拉就从公式中推证出其周期为305天，不过论文鄙人不可考，于是自己来重新推证。

本现象中假设地球为赤道规则呈圆、两极略短的重刚体，且只受重力，过中心转动。
即地球做无外力矩的惯性转动，且 $I_x=I_y \ne I_z$ 。

取惯量主轴为动系坐标系，
由欧拉动力学方程得：
$\begin{cases} I_x\dot{\omega_x}-\left(I_x-I_y\right)\omega_y\omega_z=0 \\ I_y\dot{\omega_y}-\left(I_z-I_x\right)\omega_z\omega_x=0 \\ I_z\dot{\omega_z}=0 \\ \end{cases}$

由此可知， $\omega_z=\Omega\left(const\right)$ ，即为常数。
令： $n=\fac{I_z-I_x}{I_x}\Omega$
 得 $\begin{cases} \dot{\omega_x}=-n\omega_y \\ \dot{\omega_y}=n\omega_x \\ \end{cases}$
解得此方程组为：
 $\begin{cases} \omega_x=\omega_0\cos\left(nt+\delta\right) \\ \omega_y=\omega_0\sin\left(nt+\delta\right) \\ \end{cases}$

因此可知： $\vec\omega^2=\left(\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\omega_0^2+\Omega^2\right)^{\frac{1}{2}}=const$
 即角速度的大小不变，方向随时间变化。

取角动量 $\vec J$ 为静系 $\zeta$ 轴方向，且 $\vec\dot{\phi}\uparrow\uparrow\vec J$
由欧拉运动学方程：
 $\vec\dot{\phi}=\dot{\phi}\sin \theta\sin \psi\vec i+\dot{\phi}\sin \theta\cos \psi\vec j+\dot{\phi}\cos \theta\vec k$
 $\vec J=J\sin \theta\sin \psi\vec i+J\sin \theta\cos \psi\vec j+J\cos \theta\vec k=J_x\vec i+J_y\vec j+J_z\vec k$
则， $J\cos \theta=I_z\omega_z$

由此可依次代入求解，得到：
 章动： $\theta=\cos^{-1}\left(\frac{I_z\Omega}{J}\right)=\theta_0\left(const\right),\dot{\theta}=0$
 自转： $\psi=\frac{\pi}{2}-\left(nt+\delta \right),\dot{\psi}=-n$
 进动： $\phi=\left(\Omega+nt\right)\sec \theta_0+\phi_0,\dot{\phi}=\frac{\Omega-\dot{\psi}}{\cos \theta}=\sec \theta_0\left(\Omega+nt\right)$

而其中 $\begin{cases} \omega_x=\omega_0\cos\left(nt+\delta\right) \\ \omega_y=\omega_0\sin\left(nt+\delta\right) \\ \omega_z=\Omega\left(const\right) \end{cases}$
其中， $\omega_z=\vec\omega \cdot \vec k=\Omega,n=\frac{I_z-I_x}{I_x}\Omega=\frac{1}{300}\Omega,\Omega=\omega\cos{\left(\vec \omega \cdot \vec k\right)\approx\omega$
 于是 $T=\frac{2\pi}{n}=305$ 天

而，将本设定改为 $I_x=I_y=I_z$ ，则章动、自转均为0，不会形成纬度偏移。

欧拉—班索情况的3D图像（顺带吐槽学院所谓的全国唯一）

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