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[数学の日常] 【思维训练二】等比数列

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[LV.10]以坛为家III

黑执事|夏尔

发表于 2019-10-18 00:39:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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啊我真的不想排版啦,太乱了(可是不排版更乱喂!)

第一题

1. 观察下面这一列数:


第一项:262
第二项:277
第三项:294
第四项:311
第五项:330
第六项:349
第七项:370
第八项:392
第九项:415
第十项:440
第十一项:466
第十二项:494
第十三项:523


你们发现它们之间有什么规律吗?你能大概写出第二十五项的值吗?(20分/灵石)


【提示】在浏览器里按住快捷键Ctrl+Shift+I弹出一个窗口,在窗口里选择控制台(console),然后直接接输入算式后按回车可以让电脑帮忙计算哦。


第二题

2. 中学的时候我们学到过,声音由震动产生,而震动自然会有“频率”和“响度”,同时我们还学到过,频率决定声音的音高,响度决定声音的音量,那么显然,声音的震动频率是区分不同音调的唯一因素。


那么音乐上面的具有不同音高的【do(哆)、升do、re(来)、升re、mi(咪)、fa(发)、sol(唆)、升sol、la(拉)、升la、si(西)、升si】实际上就具有着不同的震动频率。人们的实践经验发现,震动频率比为两倍音调的,比如do和比它高八度的do;re和比他高八度的re,即在钢琴键盘上面任意选择一个键(可以上网搜索Flash钢琴哦),包括它本身在内开始往下数的第十三个键发出的声音听起来具有很强烈的相似性。


如果其中一个音阶的震动频率是f,那么音高比它高8度的那个音阶的震动频率为2f。那么两个音都有自身的振动频率,在此基础上人们希望在它们之间均匀分割出一些音来,这样每个音的声音就不同又具有规律啦。习惯上,人们把“2f”12等分,即每份是“2^(1/12)f”【2的12分之1次方,即12次根号2】,这样,钢琴键盘上的所有的音都能够被确定啦。国际上规定频率为440HZ的音为国际标准音,也就是我们产起来的la,同时规定la的音名为英文字母的首字母A。于是我们有这样的音名记号:


do(哆)升dore(来)升remi(咪)fa(发)sol(唆)升solla(拉)升lasi(西)升si
C D EF G A B

实际上,问题1的那一列数,就是钢琴上小字1组的这些音的震动频率噢,你找到440HZ了吗?显然,它们是一个以440HZ为首项,公比为2的12分之1次方的等比数列,那么你能根据此来在此回答问题1吗?联系问题1和2,谈谈你的体会。(20分/灵石)


第三题

3.

一般地,我们用符号{an},{bn}{cn}等来代表数列,那么假设有一个数列{an},它是一个首项为m,公比为q等比数列,它的每一项可以这样表示:

a1 = m
a2 = m*q
a3 = m*q^2
a4 = m*q^3
……

那么根据这个规律,它的任意项(第n项)an,为
an = m*q^(n-1) 【m乘以q的(n-1)次方】

同时我们还有
a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = an/a(n-1)=q

根据【数学日常1】里面学习到的比例的基本性质中的等比定理,我们还有
(a2+a3+...an)/(a1+a2+a(n-1)) = q。【1】

我们将一个数列的前n项和记作Sn,若前3项和即为S3 = a1 + a2 + a3。
那么根据【1】我们有
(Sn-a1)/S(n-1) = q【2】


Sn-a1 = q[S(n-1)]

而前n-1项的和不也等于前n项和减去末项an吗,所以我们有:
Sn-a1 = q(Sn-an)


(1-q)Sn = a1-q*an

移项,合并同类项得
Sn = (a1-q*an)/(1-q)

于是,我们成功地使用首项,公比,末项来表示等比数列的前n项和啦!


同时我们又知道末项也可以用首项和公比来表示,所以我们将an = a1+ q*(n-1)带入上式,会得到更方便的求和公式哦。


将此带入过程呈现在演算纸上并上传。同时翻阅高中数学必修5电子课本(本版块有下载)中等比数列前n项和的推导公式,与这里的推导方法相比,你有什么收获呢?记住事物是相互联系的哈。此外你还能用比例的性质推导和发现等比数列的其它性质吗?(50分/灵石)


第四题

4. 用【数学日常1】中提到的相似三角形法,证明等比定理:如果a:b=c:d=e:f=k,那么(a+c+e)/(b+d+f)=k,同时证明推广到n项该定理也同样适用。(60分/灵石)




点评

第四题证明我写在第一期了哦  发表于 2019-10-22 15:02
签名被小宅喵吞掉了~~~~(>_<)~~~~快去设置签名吧~

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[LV.10]以坛为家III

黑执事|夏尔

 楼主| 发表于 2019-10-18 00:56:43 | 显示全部楼层
我不会把问题出太复杂了没人做吧

应该看得懂吧大家

我其实是想测试气泡
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[LV.10]以坛为家III

黑执事|夏尔

 楼主| 发表于 2019-10-18 15:48:02 | 显示全部楼层
emmmmm我拿了澈儿的召唤阵

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怪不得我在最后 但是我数学不及格,根本看不懂你在说甚  发表于 2019-11-12 10:22
这是大宝石的】】】  发表于 2019-10-22 21:48
果然又搞错(抹泪,考完试来改!  发表于 2019-10-22 16:55
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[LV.10]以坛为家III

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发表于 2019-10-18 17:21:13 | 显示全部楼层
嗷嗷嗷嗷嗷嗷
不行,我受不了,我一看到那么多字我就晕
数学渣默默地退下。。。我不会!

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果然是没人做的┭┮﹏┭┮呜呜  发表于 2019-10-18 22:48
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[LV.10]以坛为家III

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发表于 2019-10-19 12:32:11 | 显示全部楼层
千梦说他看不懂!字太多认不全!

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米兔,看到那么多字我晕。。。  发表于 2019-10-19 13:56
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[LV.10]以坛为家III

发表于 2019-10-20 00:09:04 | 显示全部楼层
数学都还给老师了~~~
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[LV.10]以坛为家III

发表于 2019-10-20 00:21:43 | 显示全部楼层
数学使我眼瞎。。。。。。

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你们都是妖怪吧 囧  发表于 2019-10-20 01:33
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[LV.5]常住居民I

发表于 2019-10-20 11:15:21 | 显示全部楼层
1.1046
2.第一项包括它本身往下数13项,那就是第十三项,262*2=524,跟第十三项523差1,嗯,相似,直接用第十三项double一下1046就是第二十五项。
3.Sn= (a1-q*an)/(1-q)=[a1-q*a1*q^(n-1)]/(1-q)=a1[1-q^(n-1)]/(1-q)
(一式推导出来的二式少个括号,二式下面的式子写漏了a1)

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q和q*(n-1)忘记合并啦 是a1(1-q^n)/(1-q)噢  发表于 2019-10-22 14:57

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Blue_sdo + 60 o(* ̄▽ ̄*)ブ 发糖 感谢~

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[LV.6]常住居民II

国庆70周年纪念银魂|坂田银时盗墓笔记|张起灵

发表于 2019-10-22 04:38:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 矮油爆他菊 于 2019-10-22 04:39 编辑


一、双倍等差数列
262+(2*1+13)+(2*2+13)+…+(2*24+13)=262+13*24+2*(1+ 2 + 3 +…+24)=262+312+2*0.525=574+600=1174
话说那个加2加居然是个表情啊!气死了加3加也是啊!
完全只看了前几项,太着急搞错了嘛QAQ
等比数列的话姆———

262*2^(24/12)=262*4=1048就是第25项了XD

二、原来频率是相乘的,这点完全忘记了。。。(吐舌头
不过为什么440 Hz是国际标准音而不是220或者880呢?是不是因为它比较处在人类音域的中间(胡扯

三、带入我会我会(怎么回事你老出错
Sn=(a1-q*a1-q^n)/(1-q)=a1-q^n/(1-q)
课本偶没有下载,考完试继续回来做XD

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诶我的点评呢  发表于 2019-10-22 15:02
三是a1(1-q^n)/(1-q)哦 提取a1后少了一个1啦  发表于 2019-10-22 14:59

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Blue_sdo + 60 o(* ̄▽ ̄*)ブ 发糖

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[LV.7]常住居民III

星座|巨蟹座国庆70周年纪念全职高手|蓝雨全职高手|黄少天全职高手|兴欣全职高手|苏沐橙宫崎骏|龙猫1宫崎骏|龙猫2

发表于 2019-10-24 19:38:27 | 显示全部楼层
emmm宝宝不会( >﹏<。)~呜呜呜……
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[LV.6]常住居民II

发表于 2019-10-28 11:12:06 | 显示全部楼层
等会  我先回复一下  我就去拿笔和纸(我高数都挂科的啊!
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[LV.1]初来乍到

发表于 2019-11-8 21:01:10 | 显示全部楼层
字太多了,没耐心看下去,其实是不太会
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[LV.6]常住居民II

国庆70周年纪念

发表于 2019-11-11 09:07:02 | 显示全部楼层
终于有一个不是我最后回复的帖子了
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[LV.4]偶尔看看III


比雕 Lv:38
发表于 2020-2-14 22:13:33 | 显示全部楼层
难道找到一个会的:第四题:
因为a:b=c:d=e:f=k
那么,不妨设a=b*k ; c=d*k ; e=f*k
则(a+c+e)\(b+d+f)=(b*k+d*k+f*k)\(b+d+f)
则=k
同理,推广到n项该定理也同样适用。
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[LV.5]常住居民I

发表于 2020-2-21 11:56:58 | 显示全部楼层
完完全全不会做
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