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[数学の日常] 【思维训练一】比例

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发表于 2019-10-17 01:25:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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即日起,我会精选一些独特的、有趣的、或是能够帮助宅友们丰富数学知识以至于能够应付考试的一些精妙数学的问题给大家。

>> 我是可爱的问题

1. 还记的比例的基本性质吗?无论你是否能够很快的回顾起来,现在请画一个三角形,用一条和底边平行的直线切割这个三角形,然后利用相似三角形的原理分析其中的边角关系,然后分析其中的比例关系,它们便是比例的基本性质。请将思维过程截图并回复。(50分/灵石)


2. 回忆化学中学过的物质的量的相关运算,你能运用上面回顾的比例的基本性质推导一些结论吗?请将分析过程截图。(无论它们时候具有实际意义,你的思维过程都是宝贵的)(50分/灵石)


[要是我没学过物质的量肿么办?在学科区找到化学必修一的电子课本,快速翻阅第一章的内容即可学到啦]

3. 你还记得弧度制的定义吗?我们规定“在同圆或等圆中,弧长等于半径长的圆心角所对应的弧度数为1弧度”,仔细思考你今天所熟练运用的弧度制运算,你能明白这样规定的好处吗?圆周率π是周长和直径的比值,弧度是弧长和半径的比值,你能发现这之间的联系吗?请将你的思维过程截图并回复。(60分/灵石)


4. 联系问题2,和问题3,你能彻底明白将碳原子的微粒数为基准来衡量其它物质的微粒数的“物质的量”的定义吗?(20分/灵石)


5. 请自己编写一个关于比例和实际生活的思考题给宅友完成,该问题将会入选下一次的思维训练。(1技能点、20喵点)


>> 复习引导


1. 三角函数相关
2. 平面几何相关
3. 物质的量相关



选择你喜欢的题目作答,不一定要全部回答哦。
大家的作答将在下期公开,届时大家可以相互讨论。

◇思考提示将在下期给出◇
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 楼主| 发表于 2019-10-22 13:32:45 | 显示全部楼层
参考思路,用平板字写的难看见谅哈
参考1.png 参考2.png
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 楼主| 发表于 2019-10-22 13:47:49 | 显示全部楼层
我们的课本里有这样的公式

   物质的量
= 物质的实际质量 ÷ 物质的摩尔质量
= 气体的实际体积 ÷ 气体的摩尔体积
= 溶液体积 * 溶液里溶质的物质的量浓度
那么问题来了,物质的量究竟是什么呢?

还记得以前学过的比例尺吗?在地图上经常见到。因为地面实际的距离实在是太大了,我们不可能按1比1画出地图,所以我们要将实际距离按照一定比例缩小,这样,

比例尺 = 图上距离 : 实际距离。

而在研究化学问题的时候我们也遇到了同样的问题,微观粒子实在是太小小了,这样会导致测量一个粒子的质量、体积造成很大的困难【测量困难】,而它们的数目又特别特别多,给数字表示上面带来了极大的不便【表示困难】。


首先,我们解决测量困难的问题:


一个粒子测量困难怎么办呢?我们抓“一大把”测量不就好了吗?那到底要抓多少呢?人们约定,采用原子C12中所含的微粒数作为这“一大把”的具体数值,它的数量是6.02*(10^23),我们将这个数值用符号NA表示。这样我们就解决了测量困难的问题啦。


那么接着,表示困难怎么解决呢?


这还不简单,我们采用类似比例尺的思路来借助NA来衡量其它物质的微粒数不就好啦?


于是我们有了一个新的比例尺:


比例尺(缩放系数) =  缩放后的微粒数 : 实际微粒数

为了方便表示,我们为按比例尺缩放后的微粒数提供一个单位,叫做摩尔(mol),同时规定这个缩放后的微粒数叫我们所要研究的物质的”物质的量”。所以所谓的物质的量,实际上就是物质的实际微粒数在经过比例尺缩放后的,缩放的微粒数


这样,我们只要能够测量出这“一大把”微粒数(1mol)物质的质量,那么按照比例尺缩放回去,物质的实际的质量不也就知道了吗?


实际上伟大的科学家大大都帮我们测量到啦!


打开化学课本的元素周期表,里面的元素对应的相对原子质量,其实就是经过我们的“比例尺”将实际质量缩放后而得到,也就是1mol的物质的质量。


所以我们的可爱的课本上有这样的说法:1mol的物质的质量,在以克为单位的时候,数值上和该物质的相对原子质量相等。所谓的“相对”,实际上就是相对C12的微粒数,也就是相对NA——我们的“比例尺”,缩放得到滴。


接着气体的体积相对于固态物质而言的测量要简单的多,因为气体内部的微粒间隔大,体积实际上不受具体物质类型的影响,只受温度和压强的影响,所以科学家们测得在0摄氏度,101千帕的标准大气压下,1mol(NA数量)的气体所具有的体积是22.4升,我们将它称为“气体摩尔体积”。还有在25摄氏度,101千帕的大气压下,1mol的气体所具有的体积是24.8升。记作:22.4L/mol和24.8L/mol。


关于浓度,用类似的思路理解应该也不困难滴。


比例性质的应用

由等比定理,我们有
物质的实际质量 + 物质的实际体积
物质的摩尔质量 + 物质的摩尔体积
= NA
根据合分比定理,我们有
   (物质的实际质量 + 物质的摩尔质量) ÷ (物质的摩尔质量-物质的摩尔质量)
= (物质的实际体积 + 物质的摩尔体积) ÷ (物质的实际体积 - 物质的摩尔体积)
类似还可以推导一些,或许它们没有什么实际意义,但是利用方程的思想,可以帮我们再解题的时候简化一些步骤哦。
关于弧度和圆

参考@惊蛰_ 的回答就好啦
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发表于 2019-10-17 10:48:11 | 显示全部楼层
1.今天是2019年10月17日 天气晴
目前只会做第一题,比较基础。。。
WechatIMG7.jpeg

参考资料:人教版高中数学A版选修4-1 几何证明选讲 P10页

那啥,今天先做到这里。。。

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我们知道 AB=AD+DB,AC=AE+EC 于是有AD:(AD+DB)=AE:(AE+EC) 即如果a:b=c:d,(a+b):b=(c+d):D 合比定理 类似的还可以证明分比定理、合分比定理  详情 回复 发表于 2019-10-17 16:15

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发表于 2019-10-17 13:55:19 | 显示全部楼层
窝是可爱的回答
no1. 以平行线为底的三角形称为B,初始三角形为A,因为平行,易知AB三内角角度相等,得AB相似,由AB相似,对应边长比值相等。比例的基本性质,比值相等?(凭空画图,无法截图)
no2.物质的量,有点记不清了。n=m/M,M为物质的量,好像是指一摩尔物质的质量?(窝对不起高中化学老师,跪地.gif),摩尔貌似是一个数量单位,具体数值好像很复杂,它使计算较为方便,摩尔单位为“个”?易或是没有单位。和相似三角形类比的话,摩尔就是相似三角形边长的比值,物质的量就相当于三角形B的边长,当然,M没有三角形的边长那么随便,相同原子的M相同,不同原子的M不同。如果说相似三角形是边长成比例,面积成比例,那么M就是质量成比例。(啰嗦一大堆也不知有没有表达出来
no3. 别问,问就是方便计算。按照规定计算,弧长为r对应的圆心角为一弧度,又π=周长/直径=周长/2r,周长=2πr,整圆对应弧度就是2π。(将圆分为均等切割成2π份,则每份弧长为r,对应圆心角弧度为一弧度,则整圆圆心角为2π弧度)这样,一弧度=360角度/2π。假设一段弧弧长对应弧度为a,弧度是弧长和半径的比值,即a=弧长/r,变形得a/2π=弧长/2πr,几何意义为同圆或等圆中,任一段弧,弧长与周长的比例等于这段弧对应弧度a与整圆弧度2π之比。
no4.MMP,审错题惹,第四题答到第二题去惹。
no5. 佟湘玉作为七侠镇的纳税大户,有一天带了一千贯铜钱去交税,因为某种不可说的原因,这一千贯铜币都是散钱,并未整理好,那么,收税人要怎么清点税款(神志不清,胡言乱语)

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所以收税人要肿么点清税款呢o(╯□╰)o  发表于 2019-10-17 16:20

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 楼主| 发表于 2019-10-17 16:15:07 | 显示全部楼层
黑霍霍 发表于 2019-10-17 10:48
1.今天是2019年10月17日 天气晴
目前只会做第一题,比较基础。。。

我们知道
AB=AD+DB,AC=AE+EC
于是有AD:(AD+DB)=AE:(AE+EC)
即如果a:b=c:d,(a+b):b=(c+d):d <=> 合比定理
类似的还可以证明分比定理、合分比定理
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发表于 2019-10-21 11:24:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 黑霍霍 于 2019-10-21 11:29 编辑
2. 回忆化学中学过的物质的量的相关运算,你能运用上面回顾的比例的基本性质推导一些结论吗?

1. “物质的量”  这个在教科书上的定义是 表示含有一定数目粒子的集合体。                                                                                                                  
       首先“一定数目粒子”,是根据大家开会规定的,即为12克的碳-12,它里所含的碳原子个数为6.02 X 1023 个。
        “物质的量” 的单位是mol。
      第二个“集合体” , 我理解为一种 组合的概念 ,没有实质意思。
         
2.“1mol 任何粒子或物质的质量以克为单位时,其数值都与该粒子的相对原子质量或相对分子质量相等”。
       比如 1mol 的水 为 18g 时,
         通过 其数值都与该粒子的“相对原子质量”,这里的相对 就是根据1中的12克的碳-12相比较 得出的比值,
          所以,这里的 18 是  水分子:碳-12 得出的。
             那么,摩尔质量,顾名思义,就是   物质的质量  :  (1个单位mol  X  其质量比值 )
参考:化学必修1   P11

     让我猜,为啥搞这些花里胡哨的东西,是因为单单一个粒子实在微不足道,难以计量,所以采用抱团的方法?
      

我们知道 AB=AD+DB,AC=AE+EC 于是有AD:(AD+DB)=AE:(AE+EC) 即如果a:b=c:d,(a+b):b=(c+d):D 合比定理 类似的还可以证明分比定理、合分比定理

学到了,学到了,还能这样拆。。。

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C12,是质子数和中子数都是6个的碳原子,不是12克的碳啦  发表于 2019-10-22 14:40

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 楼主| 发表于 2019-10-22 14:37:19 | 显示全部楼层
@黑霍霍 @惊蛰_
思维参考我发出来啦
emmm不知道AT到了没有
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真的学到了,对 这个比值就是相当于放大倍数。一点通了,谢谢。
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发表于 2019-11-17 10:52:16 | 显示全部楼层
刚刚学到这块内容,挺好
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发表于 2019-11-18 10:41:33 | 显示全部楼层
比利♂的性质
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发表于 2019-12-17 10:03:12 | 显示全部楼层
平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。因为这两个是相似三角形,因此对应边的比相等且夹角相等。
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发表于 2022-3-31 17:25:23 | 显示全部楼层

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这版也太牛了吧
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数学我只停留在买东西够用的起跑线上了
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